Filtros FIR, filtros IIR y la ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal Filtros de media móvil causal (FIR) Hemos discutido sistemas en los que cada muestra de la salida es una suma ponderada de (cierta de) las muestras de la entrada. Tomemos un sistema de suma ponderada causal, donde causal significa que una muestra de salida dada depende solamente de la muestra de entrada actual y de otros insumos más temprano en la secuencia. Ni los sistemas lineales en general, ni los sistemas finitos de respuesta al impulso en particular, necesitan ser causales. Sin embargo, la causalidad es conveniente para una especie de análisis que se va a explorar en breve. Si simbolizamos las entradas como valores de un vector x. Y las salidas como valores correspondientes de un vector y. Entonces tal sistema se puede escribir como cuando los valores de b son pesos aplicados a las muestras de entrada actuales y anteriores para obtener la muestra de salida actual. Podemos pensar en la expresión como una ecuación, con el signo de igual signo que es igual, o como una instrucción de procedimiento, con el signo de igual signo de asignación. Permite escribir la expresión para cada muestra de salida como un bucle MATLAB de sentencias de asignación, donde x es un vector N-length de muestras de entrada, yb es un vector M-length de pesos. Para tratar el caso especial al principio, incorporaremos x en un vector más largo xhat cuyas primeras muestras M-1 son cero. Escribiremos la suma ponderada para cada y (n) como un producto interno, y haremos algunas manipulaciones de las entradas (como invertir b) para este fin. Este tipo de sistema es a menudo llamado un filtro de media móvil, por razones obvias. De nuestras discusiones anteriores, debe ser obvio que tal sistema es lineal y invariable del turno. Por supuesto, sería mucho más rápido usar la función de convolución de MATLAB conv () en lugar de nuestro mafilt (). En lugar de considerar las primeras muestras M-1 de la entrada como cero, podríamos considerarlas como las mismas que las muestras M-1 pasadas. Esto es lo mismo que tratar la entrada como periódica. Utilice bien cmafilt () como el nombre de la función, una pequeña modificación de la función mafilt () anterior. En la determinación de la respuesta de impulso de un sistema, generalmente no hay diferencia entre estos dos, ya que todas las muestras no iniciales de la entrada son cero: Dado que un sistema de este tipo es lineal y invariante por turnos, sabemos que su efecto en cualquier Sinusoid será sólo a escala y cambiarlo. Aquí es importante que utilicemos la versión circular. La versión circularmente convoluida se desplaza y se escala un poco, mientras que la versión con convolución ordinaria se distorsiona al principio. Vamos a ver cuál es el escalado y desplazamiento exactos usando fft: Tanto la entrada como la salida tienen amplitud sólo en las frecuencias 1 y -1, que es como debería ser, dado que la entrada era una sinusoide y el sistema era lineal. Los valores de salida son mayores en una relación de 10.6251 / 8 1.3281. Esta es la ganancia del sistema. ¿Qué pasa con la fase? Sólo necesitamos mirar donde la amplitud es distinta de cero: La entrada tiene una fase de pi / 2, como pedimos. La fase de salida se desplaza por 1,0594 adicionales (con signo opuesto para la frecuencia negativa), o alrededor de 1/6 de un ciclo a la derecha, como podemos ver en el gráfico. Ahora vamos a intentar una sinusoide con la misma frecuencia (1), pero en lugar de la amplitud 1 y fase pi / 2, vamos a intentar la amplitud 1,5 y la fase 0. Sabemos que sólo la frecuencia 1 y -1 tendrá amplitud no cero, Basta con mirarlos: de nuevo la relación de amplitud (15.9377 / 12.0000) es 1.3281 - y en cuanto a la fase se desplaza nuevamente hacia 1.0594. Si estos ejemplos son típicos, podemos predecir el efecto de nuestro sistema (respuesta al impulso .1.2 .3 .4 .5) en cualquier sinusoide con frecuencia 1 - la amplitud se incrementará en un factor de 1,3281 y la fase (frecuencia positiva) se desplazará en 1,0594. Podríamos pasar a calcular el efecto de este sistema sobre sinusoides de otras frecuencias por los mismos métodos. Pero hay una manera mucho más simple, y una que establece el punto general. Dado que la convolución (circular) en el dominio del tiempo significa la multiplicación en el dominio de la frecuencia, de ello se deduce que, en otras palabras, la DFT de la respuesta de impulso es la relación de la DFT de la salida a la DFT de la entrada. En esta relación, los coeficientes DFT son números complejos. Desde abs (c1 / c2) abs (c1) / abs (c2) para todos los números complejos c1, c2, esta ecuación nos dice que el espectro de amplitud de la respuesta de impulso siempre será la relación entre el espectro de amplitud de la salida a la De la entrada. En el caso del espectro de fase, ángulo (c1 / c2) ángulo (c1) - ángulo (c2) para todos c1, c2 (con la condición de que las fases que difieren por n2pi se consideran iguales). Por lo tanto, el espectro de fase de la respuesta de impulso siempre será la diferencia entre los espectros de fase de la salida y la entrada (con las correcciones de 2pi que sean necesarias para mantener el resultado entre - pi y pi). Podemos ver los efectos de fase más claramente si desempolvamos la representación de fase, es decir, si añadimos varios múltiplos de 2pi como sea necesario para minimizar los saltos que son producidos por la naturaleza periódica de la función angle (). Aunque la amplitud y la fase se usan generalmente para la presentación gráfica e incluso tabular, ya que son una manera intuitiva de pensar sobre los efectos de un sistema en los diversos componentes de frecuencia de su entrada, los complejos coeficientes de Fourier son más útiles algebraicamente, ya que permiten La expresión simple de la relación El enfoque general que acabamos de ver funcionará con filtros arbitrarios del tipo esbozado, en los que cada muestra de salida es una suma ponderada de algún conjunto de muestras de entrada. Como se mencionó anteriormente, a menudo se les llama filtros de Respuesta de Impulso Finito, ya que la respuesta de impulso es de tamaño finito, oa veces filtros de Promedio Móvil. Podemos determinar las características de respuesta de frecuencia de dicho filtro a partir de la FFT de su respuesta de impulso, y también podemos diseñar nuevos filtros con características deseadas por IFFT a partir de una especificación de la respuesta de frecuencia. Filtros Autoregresivos (IIR) No tendría mucho sentido tener nombres para los filtros FIR a menos que hubiera algún otro tipo de distinción, por lo que aquellos que han estudiado la pragmática no se sorprenderán al saber que hay de hecho otro tipo principal Del filtro lineal tiempo-invariante. Estos filtros a veces se llaman recursivos porque el valor de salidas anteriores (así como entradas anteriores) importa, aunque los algoritmos generalmente se escriben usando construcciones iterativas. También se les llama Filtros de Respuesta a Impulsos Infinitos (IIR), porque en general su respuesta a un impulso permanece para siempre. También a veces se les llama filtros auto-regresivos, porque los coeficientes pueden considerarse como el resultado de hacer una regresión lineal para expresar valores de señal en función de valores de señal anteriores. La relación de los filtros FIR y IIR se puede ver claramente en una ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal, es decir, establecer una suma ponderada de salidas igual a una suma ponderada de entradas. Esto es como la ecuación que dimos anteriormente para el filtro FIR causal, excepto que además de la suma ponderada de entradas, también tenemos una suma ponderada de salidas. Si queremos pensar en esto como un procedimiento para generar muestras de salida, necesitamos reorganizar la ecuación para obtener una expresión para la muestra de salida actual y (n), Adoptando la convención de que a (1) 1 (por ejemplo, escalando otra como Y bs), podemos deshacernos del término 1 / a (1): y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). B (Nb _ {1}) _ {x} (n - nb) - a (2) y (n - 1) -. - a (Na1) y (n-na) Si todos los a (n) distintos de a (1) son cero, esto reduce a nuestro viejo amigo el filtro FIR causal. Este es el caso general de un filtro (causal) LTI, y es implementado por el filtro de función MATLAB. Veamos el caso en que los coeficientes b distintos de b (1) son cero (en lugar del caso FIR, donde a (n) son cero): En este caso, la muestra de salida corriente y (n) se calcula como (N-1), y (n-2), etc. Para tener una idea de lo que sucede con estos filtros, comencemos con el caso en el que: Es decir, la muestra de salida actual es la suma de la muestra de entrada actual y la mitad de la muestra de salida anterior. Bueno, tome un impulso de entrada a través de unos pasos de tiempo, uno a la vez. Debe quedar claro en este punto que podemos escribir fácilmente una expresión para el valor de la muestra n-ésima salida: es justo (si MATLAB contado desde 0, esto sería simplemente .5n). Puesto que lo que estamos calculando es la respuesta de impulso del sistema, hemos demostrado por ejemplo que la respuesta de impulso puede de hecho tener infinitas muestras no cero. Para implementar este filtro trivial de primer orden en MATLAB, podríamos usar filtro. La llamada se verá así: y el resultado es: ¿Es este negocio realmente todavía lineal? Podemos ver esto empíricamente: Para un enfoque más general, considere el valor de una muestra de salida y (n). Por sustitución sucesiva podríamos escribir esto como Esto es como nuestro viejo amigo la forma convolución-suma de un filtro FIR, con la respuesta impulsiva proporcionada por la expresión .5k. Y la longitud de la respuesta de impulso es infinita. Así, los mismos argumentos que utilizamos para demostrar que los filtros FIR eran lineales ahora se aplicarán aquí. Hasta ahora esto puede parecer un montón de alboroto sobre no mucho. ¿Qué es toda esta línea de investigación para bien responder a esta pregunta en etapas, a partir de un ejemplo. No es una gran sorpresa que podamos calcular un exponencial muestreado por multiplicación recursiva. Veamos un filtro recursivo que hace algo menos obvio. Esta vez también lo convierten en un filtro de segundo orden, de modo que la llamada al filtro será de la forma. Permite establecer el segundo coeficiente de salida a2 a -2cos (2pi / 40) y el tercer coeficiente de salida a3 a 1, y mirar La respuesta al impulso. No muy útil como filtro, en realidad, pero genera una onda sinusoidal muestreada (de un impulso) con tres multiplicaciones por muestra. Para entender cómo y por qué lo hace, y cómo se pueden diseñar y analizar los filtros recursivos en El caso más general, tenemos que dar un paso atrás y echar un vistazo a algunas otras propiedades de los números complejos, en el camino a la comprensión de la transformación z.¿Cuáles son las desventajas del filtro de media móvil cuando se utiliza con datos de series de tiempo Hay un poco De una confusión en la terminología en el procesamiento de la señal. Los filtros de media móvil son filtros que calculan una serie de medios ponderados de la señal de entrada. Además de Balaacutezs comentario Kotoszrsquo, es importante que los pesos no son iguales, es decir, se calcula la media aritmética de ejecución de la señal de entrada. Este tipo de filtro se suele denominar medio de ejecución. No deberías usarlos porque eliminan algunas frecuencias en tu espectro y otras se invierten. Thatrsquos mal si está interesado en una banda de frecuencia específica, que es o bien eliminado (sin respuesta) o invertido (cambio de signo y, por tanto, causalidad) (ver página 177 en mi libro de texto MATLAB Recipes for Earth Sciences, Springer 2010). Heres a MATLAB Ejemplo para ver el efecto de correr medios. Como ejemplo, la aplicación del filtro a una señal con un periodo de aproximadamente 1 / 0,09082 elimina completamente esa señal. Además, como la magnitud de la respuesta en frecuencia es la absoluta de la respuesta de frecuencia compleja, la respuesta de magnitud es realmente negativa entre 0,3633 y entre 0,4546 y la frecuencia de Nyquist. Todos los componentes de señal que tienen frecuencias dentro de estos intervalos están reflejados en el eje t. Como ejemplo, se intenta una onda sinusoidal con un periodo de 7.0000, p. Una frecuencia de aproximadamente 0,1429, que está dentro del primer intervalo con una respuesta de magnitud negativa: t (1: 100) x10 2sin (2pit / 7) b10 unidades (1,11) / 11 m10 longitud (b10) y10 filtro (b10, 1, x10) y10 y10 (1 (m10-1) / 2: extremo (m10-1) / 2,1) y10 (fin1: endm10-1,1) X10, t, y10) Aquí se muestra la respuesta de amplitud del filtro mostrando los ceros y el recorte: h, w, freqz (b10,1,512) f 1w / (2pi) magnitud abs (h) trazado (f, magnitud) Con un periodo de 7 experiencias una reducción de amplitud de, por ejemplo Alrededor de 80, pero también cambió de signo como se puede ver en la trama. La eliminación de ciertas frecuencias y la inversión de la señal tiene una consecuencia importante al interpretar la causalidad en las ciencias de la tierra. Estos filtros, aunque se ofrecen como estándar en los programas de hoja de cálculo para suavizado, por lo tanto, debe ser completamente evitado. Como alternativa, deben usarse filtros con una respuesta de frecuencia específica, como un filtro de paso bajo de Butterworth. Obtener una pregunta que necesita responder rápidamenteMoviendo filtro promedio Puede utilizar el módulo de filtro de promedio móvil para calcular una serie de promedios unilateral o bilateral en un conjunto de datos, utilizando una longitud de ventana que especifique. Después de haber definido un filtro que satisfaga sus necesidades, puede aplicarlo a las columnas seleccionadas de un conjunto de datos conectándolo al módulo Aplicar filtro. El módulo hace todos los cálculos y reemplaza los valores dentro de las columnas numéricas con las medias móviles correspondientes. Puede usar el promedio móvil resultante para el trazado y la visualización, como una nueva línea de base suave para el modelado, para calcular las desviaciones con respecto a los cálculos para periodos similares, y así sucesivamente. Este tipo de promedio le ayuda a revelar y pronosticar patrones temporales útiles en datos retrospectivos y en tiempo real. El tipo más simple de media móvil comienza en alguna muestra de la serie y utiliza el promedio de esa posición más las n posiciones anteriores en lugar del valor real. (Puede definir n como quiera.) Cuanto más largo sea el período n en el que se calcula el promedio, menor será la varianza entre los valores. Además, a medida que aumenta el número de valores utilizados, menos efecto tiene un solo valor en el promedio resultante. Un promedio móvil puede ser unilateral o bilateral. En un promedio unilateral, sólo se utilizan los valores que preceden al valor del índice. En un promedio de dos caras, se utilizan valores pasados y futuros. Para los escenarios en los que está leyendo los datos de transmisión, las medias móviles acumuladas y ponderadas son particularmente útiles. Un promedio móvil acumulativo toma en cuenta los puntos anteriores al período actual. Puede ponderar todos los puntos de datos de manera igual al calcular el promedio, o puede garantizar que los valores más cercanos al punto de datos actual se ponderan más fuertemente. En una media móvil ponderada. Todos los pesos deben sumar a 1. En una media móvil exponencial. Los promedios consisten en una cabeza y una cola. Que pueden ponderarse. Una cola ligeramente ponderada significa que la cola sigue la cabeza muy de cerca, por lo que el promedio se comporta como un promedio móvil en un corto período de ponderación. Cuando los pesos de la cola son más pesados, el promedio se comporta más como un promedio móvil simple más largo. Agregue el módulo de filtro de media móvil a su experimento. Para Longitud. Escriba un valor de número entero positivo que define el tamaño total de la ventana a través de la cual se aplica el filtro. Esto también se llama la máscara de filtro. Para una media móvil, la longitud del filtro determina cuántos valores se promedian en la ventana deslizante. Los filtros más largos también se llaman filtros de orden superior y proporcionan una ventana de cálculo más grande y una aproximación más cercana a la línea de tendencia. Los filtros de orden más corto o inferior utilizan una ventana de cálculo más pequeña y se asemejan más a los datos originales. Para Tipo. Elija el tipo de media móvil a aplicar. Azure Machine Learning Studio soporta los siguientes tipos de cálculos de promedio móvil: Se calcula un promedio móvil simple (SMA) como una media de balanceo no ponderada. Los promedios móviles triangulares (TMA) se promedian dos veces para una línea de tendencia más suave. La palabra triangular se deriva de la forma de los pesos que se aplican a los datos, lo que hace hincapié en los valores centrales. Un promedio móvil exponencial (EMA) da más peso a los datos más recientes. La ponderación disminuye exponencialmente. Un promedio móvil exponencial modificado calcula un promedio móvil en ejecución, donde calcular el promedio móvil en cualquier punto considera la media móvil previamente calculada en todos los puntos anteriores. Este método produce una línea de tendencia más suave. Dado un solo punto y una media móvil actual, la media móvil acumulativa (CMA) calcula la media móvil en el punto actual. Agregue el conjunto de datos que tiene los valores que desea calcular un promedio móvil y agregue el módulo Aplicar filtro. Conecte el filtro de media móvil a la entrada de la izquierda de Aplicar filtro. Y conecte el dataset a la entrada derecha. En el módulo Aplicar filtro, utilice el selector de columnas para especificar a qué columnas debe aplicarse el filtro. De forma predeterminada, el filtro que cree se aplicará a todas las columnas numéricas, así que asegúrese de excluir todas las columnas que no tienen los datos adecuados. Ejecute el experimento. En ese punto, para cada conjunto de valores definido por el parámetro de longitud del filtro, el valor actual (o índice) se sustituye por el valor de la media móvil.
No comments:
Post a Comment